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《算法图解》读书笔记 第七章 狄克斯特拉算法

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狄克斯特拉算法用于计算加权图中的最短路径。

加权图

带权重的图称为加权图 （weighted graph），不带权重的图称为非加权图 （unweighted graph）。

加权图中每条边都有关联的数字，这些数字称为权重（weight）。

狄克斯特拉算法

要计算非加权图中的最短路径，可使用广度优先搜索 。要计算加权图中的最短路径，可使用狄克斯特拉算法。

狄克斯特拉算法背后的关键理念：找出图中最便宜的节点，并确保没有到该节点的更便宜的路径 ！

不能将狄克斯特拉算法用于包含负权边的图。在包含负权边的图中，要找出最短路径，可使用另一种算法——贝尔曼-福德算法 （Bellman-Ford algorithm）

狄克斯特拉算法包含4个步骤：

  1. 找出最便宜的节点，即可在最短时间内前往的节点。
  2. 对于该节点的邻居，检查是否有前往它们的更短路径，如果有，就更新其开销。
  3. 重复这个过程，直到对图中的每个节点都这样做了。
  4. 计算最终路径。

代码实现如下：

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# 存储图的散列表
graph = {}
graph["start"] = {}
graph["start"]["a"] = 6
graph["start"]["b"] = 2

graph["a"] = {}
graph["a"]["fin"] = 1

graph["b"] = {}
graph["b"]["a"] = 3
graph["b"]["fin"] = 5

graph["fin"] = {}  # 终点没有任何邻居

# 存储每个节点开销的散列表
infinity = float("inf")
costs = {}
costs["a"] = 6
costs["b"] = 2
costs["fin"] = infinity

# 存储父节点的散列表
parents = {}
parents["a"] = "start"
parents["b"] = "start"
parents["fin"] = None

# 记录处理过的节点
processed = []


def find_lowest_cost_node(costs):
    lowest_cost = float("inf")
    lowest_cost_node = None
    for node in costs:  # 遍历所有的节点
        cost = costs[node]
        if cost < lowest_cost and node not in processed:  # 如果当前节点的开销更低且
            lowest_cost = cost  # 就将其视为开销最低的节点
            lowest_cost_node = node
    return lowest_cost_node


node = find_lowest_cost_node(costs)  # 在未处理的节点中找出开销最小的节点
while node is not None:  # 这个while循环在所有节点都被处理过后结束
    cost = costs[node]
    neighbors = graph[node]
    for n in neighbors.keys():  # 遍历当前节点的所有邻居
        new_cost = cost + neighbors[n]
        if costs[n] > new_cost:  # 如果经当前节点前往该邻居更近，
            costs[n] = new_cost  # 就更新该邻居的开销
            parents[n] = node  # 同时将该邻居的父节点设置为当前节点
    processed.append(node)  # 将当前节点标记为处理过
    node = find_lowest_cost_node(costs)  # 找出接下来要处理的节点，并循环

print(costs)

shortest_path = ['fin']
node = 'fin'
while node != 'start':
    node = parents[node]
    shortest_path.insert(0, node)
print(shortest_path)

小结

  • 广度优先搜索用于在非加权图中查找最短路径。
  • 狄克斯特拉算法用于在加权图中查找最短路径。
  • 仅当权重为正时狄克斯特拉算法才管用。
  • 如果图中包含负权边，请使用贝尔曼-福德算法。